The Classical and Symplectic Stiefel and Grassmann Manifolds: Geometry and Applications

Geodæter, den relaterede eksponentialafbildning og dens inverse, eller tilnærmelser til de to sidstnævnte, er centrale i de fleste databehandlingsoperationer på matrixmangfoldigheder. Når (effektive) formler er tilgængelige bliver det muligt at løse opgaver som interpolations- eller optimeringsproblemer. Denne afhandling løser problemer relateret hertil på de klassiske og symplektiske Stiefel- og Grassmannmangfoldigheder, dvs. mangfoldigheder af henholdsvis lineære eller symplektiske baser eller underrum af vectorrum, hvor sidstnævnte --- den symplektiske Grassmannmangfoldighed --- introduceres som et nyt undersøgelsesobjekt i denne afhandling.

For den klassiske Grassmannmangfoldighed afledes an algoritme til beregning af den Riemannske logaritme, som er numerisk effektiv og som et nyt resultat muliggør beregning af geodæter mellem ethvert par af to givne punkter. Desuden kombineres forskningsspor, der behandler Grassmannmangfoldigheden som et sæt projektorer og som en kvotient af Stiefelmangfoldigheden, og formler til en let overgang mellem de to angives. Endelig findes en fuldstændig beskrivelse af det konjugerede locus.

For den klassiske Stiefelmangfoldighed findes en effektiv metode til at beregne en kendt slags kvasi-geodæter mellem to givne punkter, og der indføres en alternativ form for forbindende kvasi-geodæter, som er meget tættere på de Riemannske geodæter.

For den symplektiske Stiefelmangfoldighed introduceres et pseudo-Riemannsk og Riemannsk framework, som muliggør beregning af (for enhver metrik hidtil ukendte) geodæter. For den nyindførte symplektiske Grassmannmangfoldighed findes pseudo-Riemannske og Riemannske metrikker og tilsvarende geodæter med effektive formler via horisontale løft på en lignende måde. På både den symplektiske Stiefelmangfoldighed og den symplektiske Grassmannmangfoldighed introduceres effektive formler til beregning og invertering af Cayleyretraktionen.