Structure and symmetries in C*-algebras

Denne afhandling er baseret på adskillige projekter i feltet operator algebra, især graf C∗-algebraer, og ikke-kommutativ geometri. Det første projekt vi vil præsentere befinder sig fuldstændigt indenfor feltet graf C∗
-algebraer. Vi undersøger ydre konjugering af delalgebraer af graf-C∗-algebraer. Lad E være en endelig graf, for den kanoniske diagonale maksimale abelske delalgebra DE af C∗ (E) viser vi, at hvis α er en knude-fikserende-kvasi-fri automorfi af C∗(E), for hvilken α(DE) 6= DE, s˚a er α(DE) og DE ikke er indre konjugerede. Endvidere
præsenterer vi et kriterie, der sikrer at en polynomiel automorfi flytter den kanoniske UHF-delalgebra Fn af Cuntz-algebraen til en ikke-indre konjugeret UHF-delagebra. Dette er baseret p˚a et samarbejde med Tomohiro Hayashi, Jeong Hee Hong og Wojciech Szymanski.


I de andre projekter undersøger vi kvanteanaloger af klassiske rum og ikke-kommutative bundter. Motiveret af Gelfand-ækvivalensen mellem kategorierne af kommutative C∗-algebraer og kontinuerte funktioner på lokalt-kompakte rum, tænker vi ofte på ikke-kommutative C∗-algebraer som kontinuerte funktioner på et ikke-eksisterende virtuelt kvanterum. For mange klassiske rum er en kvanteanalog herved givet som en ikke-kommutativ C∗-algebra. I samarbejde med Thomas Gotfredsen undersøger vi klassifikation af en kvanteanalog til de klassiske linserum af dimension højest 7, der kan beskrives som graf-C∗-algebraer. Ved at anvende klassifikationsresultatet for endelige grafer, vist af Eilers, Restorff, Ruiz og Sørensen, finder vi en tal-teoretisk invariant. Et andet ikke-kommutativt rum af interesse er det kvante-komplekse projektive rum C(CPnq) introduceret af Vaksman og Soibelman. I et samarbejde med Francesca Arici bliver en eksplicit KK-ækvivalens mellem C(CPnq) og Cn+1 præsenteret. I konstruktionen er det vigtigt at C(CPnq) er en graf C∗-algebra, som vist af Hong og Szymanski.


Teorien om ikke-kommutative principalbundter er veletableret, men ikke meget vides om generelle fiberbundter. For nyligt præsenterede Brzezinski og Szymanski en beskrivelse, på det algebraiske niveau, af ikke-kommutaive bundter med homogene fibre. Som eksempel på dette er kvante-twistor-bundtet konstrueret. Bundet er defineret ved at gå via. fikspunktalgebraen af en U(1)-virkning på kvante instanton bundet givet ved Bonechi, Ciccoli, D¸abrowski og Tarlini. I et samarbejde med Wojciech Szymanski undersøger vi den indhyldende C∗-algebra af algebraerne i bundtet. Det vises at den indhyldende C∗-algebra af totalrummet af kvante-twistor-bundtet er isomorf til den velkendte C(CP3q) studeret af Vaksman og Soibelman. I lyset af ovensående ser vi endvidere på et andet kvante instanton bundt, defineret af Landi, Pagani og Reina. Vi undersøger den indhyldende C∗-algebra af totalrummet af bundtet, nemlig den sympletiske 7-sfære. Det vises at en af frembringerne må være nul i C∗-algebraen. Dette resultat er senere blevet genereliseret af Landi og D’Andrea til generelle kvante sympletiske sfærer C(S4n−1q). Endvidere viser vi at C(S4n−1q) er isomorf til den velundersøgte kvante-(2n+1)-sfære studeret af Vaksman og Soibelman, og en vektorrumsbasis af dens tætte polynomielle ∗-delalgebra konstrueres.