Quantum Geometry of Parabolic Moduli Spaces and the Hitchin-KZ Equivalence

Tim Henke*

*Kontaktforfatter

Publikation: AfhandlingPh.d.-afhandling

171 Downloads (Pure)

Abstract

Denne afhandling undersøger geometrien og kvantiseringen af modulirummet for paraboliske bundter. To sådanne modulirum analyseres specifikt: modulirummet for paraboliske principbundter over en Riemann-flade og især over sfæren samt modulirummet for paraboliske Higgs-bundter over generelle Riemann-flader, hvoraf hver især er genstand for en sætning.

Den vigtigste sætning bevist i denne afhandling er den projektive ækvivalens af Hitchin-forbinelsen til Knizhnik–Zamolodchikov-forbindelsen for genus 0 med i det mindste 3 markerede punkter. Hitchinforbindelsen er en forbindelse defineret på Verlindebundten, givet fiber-vis ved den geometriske kvantisering af modulirummet for flade forbindelser i Chern–Simons gaugeteori, over en familie af komplekse strukturer på overfladen. Knizhnik–Zamolodchikov-forbinelsen der derimod defineret på skoven af konforme blokke i Tsuchiya–Ueno–Yamada-modellen for konformt feltteori, defineret over den samme familie af komplekse strukturer.

Det har længe været kendt, at disse to bundten er isomorfe, til matematikere som Pauly’s Isomorfi og til fysikere som CS/WZNW dualitet. Den vigtigste sætning er derefter en erklæring om, at Pauly’s Isomorfi er projektivt flad med hensyn til disse to forbindelser. Denne matematiske erklæring har den fysiske fortolkning, at dualiteten holder dynamisk, selvom fysikken ikke vil blive berørt i dette arbejde.

Den relevante baggrundsteori vil blive præsenteret, og matematiske modeller af begge fysiske teorier vil blive præsenteret. Herefter vil den fulde bevis for den vigtigste sætning blive givet. Det vil centralt stole på konstruktionen af en geometrisk version af Knizhnik–Zamolodchikov-forbindelsen ved hjælp af Bott– Borel–Weil-bundten som en model for repræsentationsrummet, der indeholder rummet af konforme blokke.

Derudover vil noget elementær topologisk kvantefeltteori (TQFT) blive genopfrisket for at opstille den relevante sammenhæng. Ækvivalensen, som er den vigtigste sætning i denne afhandling, har vigtige anvendelser i TQFT, da den konforme feltteori er blevet brugt til geometrisk at konstruere Reshetikhin– TuraevTQFT, kendt somAndersen–Ueno Isomorfi. Knizhnik–Zamolodchikov-forbindelsen er afgørende for denne isomorfi. Den projektive ækvivalens mellem de to forbindelser kan derefter bruges til at udføre konstruktionerne fra TQFT på den gauge-teoretiske side. Dette gør det muligt at udføre beregninger og analyser med geometriske argumenter, hvilket væsentligt beriger teorien.

Derudover vil afhandlingen behandle modulirummet for paraboliske Higgs-bundter og præsentere to nye resultater om modulirummet. Higgs-bundter er en kompleksificeret pendant til holomorfe vektoreller principbundter, der udstyrer dem med en yderligere endormorfi-værdier 1-form kendt som Higgsfeltet. Higgs-felter bærer en naturlig skalering fra ikke-nul komplekse tal, hvilket definerer en gruppeaktion på modulirummet for Higgs-bundter. Baggrundsteorien for Higgs-bundter gives til sammenhæng.

Paraboliske Higgs-bundter er den naturlige generalisering af Higgs-bundter til den paraboliske kontekst, og modulirummet for paraboliske Higgs-bundter bærer også en naturlig skaleringaktion. Denne handling introducerer også yderligere stabilitetsbetingelser til bundterne, som giver ekstra struktur til modulirummet. Især kan (paraboliske) Higgs-bundter være meget stabile, hvis tiltrækningssteder har kraftfulde egenskaber inden for spejlsymmetriens felt. Afhandlingen vil give en fuldstændig klassifikationssætning for de meget stabile paraboliske Higgs-bundter af typen (1, … , 1).

Den vil også præsentere en parametriseringssætning for den fulde faste punkts lokus for modulirummet for paraboliske Higgs-bundter under skaleringaktionen, med eksplicite formularer. Sådanne parametriseringer har vigtige anvendelser i anvendelsen af lokaliserings sætninger og i forståelsen af rummets geometri.
OriginalsprogEngelsk
Bevilgende institution
  • Syddansk Universitet
Vejledere/rådgivere
  • Andersen, Jørgen Ellegaard, Vejleder
Dato for forsvar28. maj 2024
Udgiver
DOI
StatusUdgivet - 15. maj 2024

Fingeraftryk

Dyk ned i forskningsemnerne om 'Quantum Geometry of Parabolic Moduli Spaces and the Hitchin-KZ Equivalence'. Sammen danner de et unikt fingeraftryk.

Citationsformater