Estimation of Dependence in Multivariate Extreme Value Statistics

I den multivariat ekstremværdianalyse kan den ekstremale afhængighedsstruktur mellem stokastiske variable karakteriseres på flere måder. En fuldstændig karakterisering kan opnås med spektralmålet eller stabil-haleafhængighedsfunktionen. Alternativt kan man opsummere den ekstremale afhængighed med et enkelt tal, kendt som haleafhængighedskoefficienten. Denne koefficient måler styrken af den ekstremale afhængighed mellem komponenterne af en bivariat stokastisk variabel. Der findes i litteraturen mange velfungerende estimatorer for haleafhængighedskoefficienten. Disse estimatorer tager dog ikke højde for kovariater og beskytter heller ikke mod kontamination i de givne data, hvilket dermed vil påvirke kvaliteten af estimeringen negativt, især når relevante data er sjældne. For at løse disse problemer præsenterer vi en robust ikke-parametrisk metode til at estimatere den betingede haleafhængighedskoefficient ved hælpe af såkaldte minimum density power divergence kriteriet. Asymptotiske egenskaber af estimatoren studeres under passende regularitetsbetingelser.

I litteraturen er der introduceret adskillige risikomålere, der angiver, hvordan påvirkningerne fra ekstreme hændelser kan dæmpes. I den multivariate sammenhæng kan der være interesse for risikoen forbundet med en stokastisk variabel, hvor en relateret variabel bliver ekstrem. For at kvantificere sådan en risiko er det marginale forventede underskud blevet indført. Eksisterende estimatorer for dette risikomål tager dog ikke højde for kovariater der følger med de givne data, og som kan inkorporeres for at forbedre estimeringens nøjagtighed. Derfor præsenterer vi en estimator for den betingede marginale forventede underskud. Der er to hovedingredienser for denne estimator: en in-sample estimator og en ekstrapolationsmetode, når den relateret variabel er ekstrem. Disse studeres separat i to kapitler, hvor asymptotisk normalitetet af den foreslåede estimator i hvert kapitel etableres for en bred klasse af betingede bivariate fordelinger, med tunghalede betingede marginale fordelinger ved hjælpe af empiriske procesargumenter. 

Blandt de eksisterende risikomål i litteraturen er den marginale gennemsnitlig overskridelse, som er det forventede overskridelse af én risiko, der ligger over en høj grænseværdi, betinget af, at en relateret variabel overskrider en anden høj grænseværdi. I denne afhandling introducerer vi en generalisering af dette risikomål i regressionsindstillingen, det såkaldte betingede marginale gennemsnitlig overskridelsesmoment. Vi præsenterer en estimator for dette nye mål og etablerer dens asymptotiske normalitet under passende betingelser.

Udførelsen af estimatoren, der er introduceret i hvert kapitel vil blive evalueret med en simuleringsundersøgelse. Effektivieten og den praktiske anvendelighed vil blive illustreret på reelle datasæt.