ABC - Actors at the Scene of Mathematics: An investigation of how students understand mathematical symbols and formulas in upper secondary school

Symbolsproget er kendetegnende for faget matematik. Symboler benyttes til at udvikle, fastholde og kommunikere matematisk viden (Steinbring, 2006). Sammensætter man symboler til formler, kan man udtrykke egenskaber ved objekter, der kan være enten abstrakte eller konkrete. Fx har vi formler for arealet under en graf og formler for rumfang af rumlige figurer. 

I gymnasiematematikken indgår formler i stort set alle emner, og de er et nyttigt værktøj til at generalisere matematiske resultater, der så kan anvendes i mange sammenhænge. Samtidig er netop denne egenskab en væsentlig årsag til at mange elever har store problemer med matematik: ”selve styrken […] - at mange betydninger kan indeholdes i det samme udtryk eller kan udledes ved omformning, er samtidig hvad der gør det uklart.” (Arzarello, Bazzini, & Chiappini, 2002).

Formålet med afhandling er at undersøge hvordan gymnasieelever forstår matematiske symboler og formler. Herigennem er det også muligt at få indsigt i mekanismer, der forhindrer denne forståelse. Gennem hele afhandlingen benyttes en semiotisk tilgang.

Undersøgelsen tager sin begyndelse i et studie af overgangen mellem grundskole og gymnasium. Med udgangspunkt i brugen af symboler beskrives den undervisning eleverne har oplevet i grundskolens afgangsklasser, og hvordan eleverne mødes i gymnasiet. Resultatet viser et tydeligt skifte fra en kontekststyret til en begrebsorienteret undervisning. På baggrund af dette studie kan elevernes møde med det matematiske symbolsprog i gymnasiets matematikundervisning karakteriseres.

Afhandlingens resultater hviler på tre klassificeringer, der bygger ovenpå hinanden. Den første identificerer de roller, symboler spiller i matematik generelt og specielt i matematikundervisningen. Den anden er en operationel karakterisering af matematisk forståelse. Forståelse er et begreb, der har mange betydninger, men i afhandlingens undersøgelse af elevernes opfattelse af symboler og formler er der behov for at opstille en karakteristik, der gør det muligt at sammenligne og beskrive forskellige typer forståelse. Den tredje og sidste klassificering er afhandlingens hovedresultat. Her benyttes et undervisnings-eksperiment til at opsætte 8 forskellige slags forståelser af formler. For at være ’velfungerende formelbrugere’ skal elever være i besiddelse af dem alle og skal kunne kombinere og veksle imellem dem. Ved at benytte disse forståelser til at beskrive elevers arbejde med formler, bliver det tydeligt om, hvordan og ikke mindst hvorfor ikke, elever er i stand til at omgås formler til udvikling af matematisk viden herunder løsning af opgaver. Det er især bemærkelsesværdigt hvordan en enkelt forståelse til tider kan dominerende de øvrige og dermed kan forhindre disse i at udfolde deres fulde potentiale.

En væsentlig komponent i undervisningseksperimentet er benyttelsen af konkrete materialer. Afhandlingens resultater tyder på, at konkrete materialer kan stilladsere elevers arbejde med at opstille og forstå formler. I visse tilfælde vil brugen af konkrete materialer føre til en uhensigtsmæssig dominans af en bestemt forståelse, hvorved materialerne kommer til at fungere som en forhindring.